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In mwbqgeometria, l'mwbgortocentro (simbolo mwbwmwcaH, sull'mwcqETC mwcgXmwcw4) è il punto di incontro delle mwdaaltezze di un mwdqtriangolo.

Per dimostrare che tutte e tre le altezze del triangolo si intersecano in un certo punto H, dato il triangolo ABC in Fig.1, si tracciano da ciascun vertice le mwfqparallele ai lati opposti, creando così un triangolo più grande A'B'C'.

All'interno del nuovo triangolo si possono riconoscere i tre mwfwparallelogrammi ABA'C - BCB'A - CAC'B.

Considerando che in ciascun parallelogramma i lati opposti sono di lunghezza uguale, si vede che i lati del nuovo triangolo risultano essere di lunghezza doppia rispetto ai lati del triangolo originale e sono divisi a metà dai vertici dello stesso.

Si vede allora che le altezze del triangolo originale corrispondono agli mwggassi (rette perpendicolari nel punto medio) dei lati del nuovo triangolo. Poiché i tre assi dei lati del nuovo triangolo si devono intersecare in un punto che sia il centro della circonferenza circoscritta (vedi mwgwcircocentro), questo deve valere anche per le altezze del triangolo iniziale.

Quindi il punto di incontro delle altezze H (ortocentro) è unico, come si voleva dimostrare.

• Proprietà rimarchevoli

• Relazione col circocentro

• In geometria descrittiva

• Note

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

• Il suo mwiqconiugato isogonale è il mwigcircocentro e assieme ad esso giace sulla mwiwretta di Eulero, e sono contemporaneamente interni al perimetro poligonale se il triangolo è mwjaacutangolo, sul perimetro se mwjqrettangolo (esattamente sul vertice a mwjgmwjwangolo retto), esterno se il triangolo è mwkaottusangolo.

• Nei mwkgtriangoli acutangoli è il punto che minimizza contemporaneamente sia la distanza complessiva dai mwlavertici, che dai mwlqlati del triangolo, siccome le altezze esprimono la minima distanza di un vertice dal lato.

• È l'unico punto in cui mwlwtriangolo ceviano e mwmatriangolo pedale coincidono, e sono nel mwmqtriangolo ortico.

• Il suo mwmwcerchio ceviano corrisponde al mwnacerchio di Feuerbach.

L'ortocentro di un mwngtriangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto. Viceversa un triangolo il cui ortocentro coincide con un vertice (o equivalentemente appartiene al perimetro) è rettangolo. Ancora l'ortocentro del triangolo mwnw Δ Δ ( X Y Z ) {\displaystyle \Delta (XYZ)} coincide con l'mwoaincentro del triangolo formato dai piedi delle altezze del triangolo mwoq Δ Δ ( X Y Z ) {\displaystyle \Delta (XYZ)} .

Per i triangoli acutangoli vale la relazione:

mwpq a sin ⁡ ⁡ α α = b sin ⁡ ⁡ β β = c sin ⁡ ⁡ γ γ = H X cos ⁡ ⁡ α α = H Y cos ⁡ ⁡ β β = H Z cos ⁡ ⁡ γ γ = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {HX}{\cos \alpha }}={\frac {HY}{\cos \beta }}={\frac {HZ}{\cos \gamma }}=2R}

mentre per i triangoli ottusangoli (occorre il mwpwvalore assoluto dato che a priori non si sa quale angolo sia ottuso) vale:

mwqg a sin ⁡ ⁡ α α = b sin ⁡ ⁡ β β = c sin ⁡ ⁡ γ γ = H X | cos ⁡ ⁡ α α | = H Y | cos ⁡ ⁡ β β | = H Z | cos ⁡ ⁡ γ γ | = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {HX}{\left\vert \cos \alpha \right\vert }}={\frac {HY}{\left\vert \cos \beta \right\vert }}={\frac {HZ}{\left\vert \cos \gamma \right\vert }}=2R}

dove mwra α α , β β , γ γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } sono gli angoli corrispondenti ai vertici mwrq X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} rispettivamente mentre mwrg a , b , c {\displaystyle a,b,c} sono le lunghezze dei lati opposti ai vertici mwrw X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} rispettivamente, ed mwsa R {\displaystyle R} il raggio del mwsqcircocerchio.

L'ortocentro di un triangolo è esterno al triangolo mwswse e solo se esso è un mwtatriangolo ottusangolo.

Ortocentro e mwtwcircocentro sono mwuaconiugati isogonali e nella geometria del triangolo hanno diverse caratteristiche che li legano:

Le immagini dell'ortocentro rispetto ai piedi delle altezze sui lati e ai mwvgpunti medi dei lati, giacciono tutti sul mwvwcircocerchio del triangolo che ha per centro appunto il mwwacircocentro; ma se si guarda a fondo in questa proprietà, è possibile notare che i punti medi dei lati e delle altezze, in realtà non sono altro che i punti in cui il mwwqcerchio di Feuerbach, o in questo caso meglio detto dei mwwgnove punti, interseca il triangolo e che anche nel punti di intersezione con le altezzecite-ref-1[1] risulta, a ben vedere, che è sempre l'immagine dell'ortocentro rispetto a questi punti a giacere sulla mwxwcirconferenza circoscritta, di fatto è possibile mostrare che il cerchio di Feuerbach e l'insieme dei punti medi delle distanze tra il circocerchio e l'ortocentro, per cui ogni sua immagine rispetto ad un punto qualsiasi della sua circonferenza è proiettata direttamente sulla circonferenza circoscritta.

Da quanto sopra si può anche notare come circocentro, mwyqcentro dei nove punti e ortocentro, siano sempre e in questa sequenza sulla medesima retta, e distribuiti su di essa equidistantemente.

Le tre immagini del circocentro, rispetto ai punti medi dei lati, sono i centri dei tre mwzwcerchi di Johnson che per due dei mwaavertici del triangolo, e per l'mwaqomonimo teorema si intersecano reciprocamente nell'ortocentro, con raggio pari a quello del circocerchio: il mwagcircumraggio. Inoltre unendo i tre punti è ottenibile un triangolo A'B'C' mwawcongruente al triangolo di riferimento - avendo centro di mwbarotazione nel mwbqcentro dei nove punti - rispetto a cui i due punti risultano avere ruoli ribaltati, cioè il circocentro è l'ortocentro del triangolo A'B'C' e viceversa.

Con riferimento allo mwcaspazio, l'ortocentro di un triangolo ottenuto come mwcqsezione retta di un tetraedro mwcgK, è il piede della mwcwortogonale al piano mwdaalpha di tale sezione, condotta dal vertice mwdqV di mwdgK. Ovvero: la mwdwproiezione ortogonale di V su mweaalpha.

cite-note-11. ↑ Il mwgacerchio di Feuerbach veniva inizialmente detto dei nove punti, in quanto intersecava i punti medi dei lati, i piedi delle altezze e i punti medi sulle altezza delle distanza fra l'ortocentro e i vertici del triangolo,

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «ortocentro»

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Orthocenter, su MathWorld, Wolfram Research.

• mwhw(EN) Clark Kimberling, X4, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.